Lösungsansatz Modellierungsaufgabe “Wer wird Weltmeister”

Notwendige mathematische Grundkenntnisse (Wissensspeicher):

-                    Wahrscheinlichkeitsrechnung, Verteilungen, Baumdiagramme

-                     Kombinatorik

-                    Grundkenntnisse im Internet-Umgang

Schritt 1:

 -        basteln eines Urnenmodells

          Ziehung der Vorgruppen (Aktivität und Spannung!)

Schritt 2:

-        Herstellung mathematischer Zusammenhänge mit der gegebenen Situation.

         Suchen und sammeln der benötigten Informationen im Internet.

Einschub: Bei meiner Internet-Recherche habe ich 3-4 Stunden gebraucht, um die benötigten Daten herauszufinden. Deshalb wäre es wahrscheinlich sinnvoll hilfreiche Internet-Adressen vorzugeben.

Beispiel für die Vorgehensweise:

Bei der Auslosung kam heraus, dass Deutschland (GER), Nigeria (NIG), Spanien (ESP) und Paraguay (PAR) in der Vorrunde eine Gruppe bilden.

Unter der Adresse www.fußballdaten.de kann man sich nun durchklicken und die Statistiken aus Freundschafts- Europameisterschafts- und WM-Begegnungen ermitteln. Um z.B. alle Ergebnisse zwischen Deutschland und Spanien zu erhalten, sieht die Adresse dann folgendermaßen aus http://www.fußballdaten.de/vereine/deutschland/spanien/

Wenn man die Statistiken aller Mannschaften herausgesucht hat, erhält man folgendes Ergebnis:

 

Begegnung	Sieg	Unentsch.	Niederlage
GER - NIG	1	0	0
GER - ESP	8	6	5
GER - PAR	1	0	0
NIG - ESP	1	0	0
NIG - PAR	0	0	1
ESP - PAR	1	1	0

 Das ergibt die Wahrscheinlichkeiten p:

 

Begegnung	p:(Sieg)	p:(Unentsch.)	p:(Niederlage)
GER - NIG	1	0	0
GER - ESP	0,42	0,32	0,26
GER - PAR	1	0	0
NIG - ESP	1	0	0
NIG - PAR	0	0	1
ESP - PAR	0,5	0,5	0

 In diesem Fall würden sich „nur“ 1*3*1*1*1*2=6 verschiedene Konstellationen für die Abschlusstabelle der Vorrunde ergeben. Im ungünstigsten Fall müsste man 3*3*3*3*3*3=729 Möglichkeiten unterscheiden. Als Vorgabe ist allerdings gegeben, dass man sich nur mit den 2 häufigsten (wahrscheinlichsten) Alternativen auseinander setzt.

Für unser Beispiel würden diese beiden Möglichkeiten das Rennen machen:

 

Begegnung	p:(Sieg)	p:(Unentsch.)	p:(Niederlage)
GER - NIG	X
GER - ESP	X
GER - PAR	X
NIG - ESP	X
NIG - PAR			X
ESP - PAR	X

Begegnung	p:(Sieg)	p:(Unentsch.)	p:(Niederlage)
GER - NIG	X
GER - ESP	X
GER - PAR	X
NIG - ESP	X
NIG - PAR			X
ESP - PAR		X

 Damit würden sich folgende beiden Abschlusstabellen „aller Wahrscheinlichkeit nach“ ergeben:

 

Position	Mannschaft	Punkte
1	Deutschland	9
2	Paraguay	3
3	Nigeria	3
4	Spanien	3

 

Position	Mannschaft	Punkte
1	Deutschland	9
2	Paraguay	4
3	Nigeria	3
4	Spanien	1

 Bei der ersten Tabellen-Situation wäre also Deutschland Gruppenerster. Da die anderen drei Länder punktgleich sind, würde in diesem Fall die Tordifferenz entscheiden. Das könnte man entweder auswürfeln oder Randkriterien wie z.B. Zuschauereinflüsse mit einbinden. Da die WM in Deutschland stattfindet, sind wahrscheinlich viele Spanier anwesend, die ihre Mannschaft unterstützen. Daher könnte man auf Spanien als Gruppenzweiten setzen. Dieses Beispiel zeigt ganz gut die Grenzen der Wahrscheinlichkeitstheorie auf. Die Schüler sollen ohnehin nur über das Experimentieren einen tieferen Einblick in dieses oft gehasste Teilgebiet der Mathematik erlangen und keine zielgenauen Prognosen abgeben.

 Bei der zweiten Tabellensituation würde Deutschland vor Paraguay landen, und sich diese beiden Länder somit für die zweite Runde (das Achtelfinale) qualifizieren.

 Um den Weltmeister zu ermitteln, muss man die eben gezeigte Prozedur für alle Gruppen durchführen. Diese Arbeit kann man auch gut im Gruppenverband aufteilen, nachdem die grundsätzliche Vorgehensweise von allen verstanden worden ist.

Dann kann man den Ausgang der Hauptphase des Turniers (Achtel- Viertel- Halbfinale, Spiel um den 3.Platz und Finale) entsprechend berechnen und somit die Wahrscheinlichkeit angeben, mit der der persönliche Favorit den Cup holt.

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