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Um die Aufgabestellung zu lösen, werden wir zuerst eine schematisierte Repräsentation der Region durch ein Graph anfertigen. Das Bild 8 zeigt Folgendes:
A = Landeck, B=Prutz, C=Susch, D=Zernez, E=Celerina und F=Tirano.
Bild 8: Schematisiertes Graph der Strecke Landeck-Tirano
Außerdem werden wir annehmen, dass die Mobile-Telephonzellen die
Form eines Kreises mit Zentrum in B, D, F und Radius = RZ haben.
Wir möchten analytisch demonstrieren, dass die Strecke durch die
Punkte A, B, C ,D, E, F immer innerhalb der Fläche eines Kreises (mindestens)
verläuft.
Skizze der Lösung
Die markierte Strecke kann als Summe einzelner Segmente gesehen werden,
die zu unterschiedlichen Geraden gehören.
Man braucht ein geeignetes Koordinatensystem, wo die Koordinaten der
Punkte A, B, C, D, E, F gelesen werden können.
Durch ein Gleichungssystem kann man die Koordinaten der Intersektionspunkte
zwischen einem Kreis und einer Gerade berechnen.
Es wird die kartesische Normalform einer Gerade verwendet: y = ax +
b mit a= Steigung, b = Abstand des Schnittpunkts der Gerade mit der y-Achse
vom Koordinatenursprung.
Die Koordinaten der Intersektionspunkte sind zuerst als Funktion der Parameter a und b der Gerade definiert.
Da man die Koordinaten von zwei Punkten pro Gerade kennt, kann man für alle Geraden die Parameter a und b als Funktion der Koordinaten der bekannten Punkte definieren.
Um die Aufgabe zu lösen, wird man dann überprüfen, dass die Koordinaten der Extremen jedes Segments innerhalb eines Kreises liegen.
Detaillierte Lösung des Problems
Das folgende Gleichungssystem ist die Intersektion eines Kreises mit
einer Gerade.
Im (1) sind die Koordinaten der Intersektionspunkte als Funktion der
Parameter a und b der Gerade definiert.
Im (2) werden diese Parameter durch die Koordinaten von zwei Punkten,
die auf der Gerade sind, festgelegt (hier für die Gerade r und die
Punkte A und B).
Die Koordinaten des Punkts A müssen die Bedingungen im (4) erfüllen,
um innerhalb des Kreises zu sein.
Genauso sollen die Koordinaten aller Punkte überprüft werden.
Die Aufgabe kann gut mit einem programmierbaren Taschenrechner gelöst
werden.
{ (x-xk)2 + (y-yk)2 = Rz2 ^ y = ax+b
(1+a2)x2-2(xk-a(b-yk))x+(b-yk)2-Rz2 = 0
{ A = (1+a2) ^ B = -2(xk-a(b-yk)) ^ C = (b-yk)2-Rz2 (0)
Ax2+Bx+C = 0
{ x1,2 = (-B+/-sqrt(B2 - 4AC))/2A ^ y1,2 = ax1,2 + b (1)
{ yA = axA + b ^ yB = axB + b
{ a = (yA-yB)/(xA-xB) ^ b = yB - xB(yA-yB)/(xA-xB) (2), (3)
{ xr1 <= xA<=
xr2 ^ yr1 <= yA<=
yr2
(4)