SII-A-Loesung

Projekt AMU WS 2003/2004
Prof. R. Bruder/M. Distler

Musterlösung a)

Bei der Lösung der Aufgabe a) sind die zwei folgenden Annahmen wichtig:

Die Form der Intersektionsfläche ist nur von der Richtung der Satelliten abhängig und nicht von deren Entfernung vom Empfänger.
Die Form der Intersektionsfläche wird als Parallelogramm betrachtet, da die Satelliten sehr weit vom Empfänger sind und dadurch die Krümmung der Kreise sehr flach ist.

Die erste Annahme hat als Folge, dass der Raum aller möglichen Positionen der zwei Satelliten ein Kreis ist. Wenn man das Bild 6a betrachtet, kann man sich leicht vorstellen, wie die Intersektionsfläche sich verändert, wenn man die relative Position der Satelliten auf diesem Kreis bewegt.
Die Intersektionsfläche wird durch eine Scherungstransformation verändert. Dadurch kann man annehmen, dass die günstigste Position, um die Intersektionsfläche zu minimieren, entsteht, wenn die zwei Satelliten einen rechten Wickel mit dem Empfänger bilden (siehe Bild 6b).

Bild 6b: Die Intersektionsfläche ist wahrscheinlich in dieser Konstellation minimiert.

Um diese Annahme geometrisch zu demonstrieren, betrachtet man das Bild 6c:

Bild 6c: Die Intersektionsfläche als Parallelogramm

Im Bild sind S1 und S2 die zwei Satelliten, deren Richtung einen Winkel a mit dem Empfänger (H) bilden.
Wir werden den Inhalt der Intersektionsfläche als Funktion des Winkel a berechnen und überprüfen, ob die Funktion für a = 90° ein Minimum hat.

Die Intersektionsfläche wird hier als Parallelogramm dargestellt. Der Inhalt der Intersektionsfläche besteht aus zwei gleichschenkligen Dreiecken (ABD und BCD)
Folgendes wird berechnet:

Teil zu berechnen Abhängigkeit

Gesamte Fläche G der Intersektionsfläche G G = 4 AD = 4a²/sin(a)

Fläche des Dreiecks ABH A_D

[2sin(a/2) cos(a/2)) = sin(a)]

A_D= (AH^.BH)/2 =
        (AB²sin(a/2) cos(a/2))/2
        (4a²sin(a/2) cos(a/2))/2sin²(a)
        (2a²sin(a/2) cos(a/2))/sin²(a)
        a²/sin(a)

AH AB cos(a/2)

BH AB sin(a/2)

AB 2a/sin(a)

Für a= 90°ist die gesamte Fläche G der Intersektionsfläche = 4a², d.h. das Parallelogramm ABDE wird ein Viereck mit Seitenlänge 2a.
Um zu demonstrieren, dass diese Konstellation mit Winkel a= 90° die Intersektionsfläche minimiert, soll man berechnen, wo die erste Ableitung der Fläche als Funktion von a annulliert wird:
D[4a²/sin(a)] = -4a²cos(a)/sin²(a)
Diese Ableitung ist für a = 90°:
-4a²cos(90°)/sin2(90°) = 0
Um sicher zu sein, dass a= 90° wirklich ein Minimum der Funktion ist, sollte man noch überprüfen, dass die zweite Ableitung für a = 90° > 0 ist.

Musterlösung b)

Beim Projekt a) hat man die Koordinaten der ausgewählten Punkte als Funktion von der Entfernung der Punkte von Satelliten (siehe Gleichung (1) und (2)) berechnet.
Wir betrachten nun nur der Punkt G.

Wenn man für diese Aufgabe davon ausgeht, dass man die Koordinaten des Punktes G durch eine präzise Messung kennt, kann man dann die Gleichung (1) als Funktion von Dd schreiben.
Dd ist die Ungenauigkeit in der Entfernung der Satelliten, die auf die Ungenauigkeit der Uhr zurückzuführen ist (das graue Rand im Bild 6a). Wir gehen nämlich davon aus, dass die Geschwindigkeit des Signals genau bekannt ist.
Die Gleichung (1) kann jetzt wie folgend geschrieben werden, wo die Unbekannte das Parameter Dd ist:
x_G = ((d_1G + Dd)² + x₂² + y₂² - ((d_2G + Dd)² – x₁² – y₁²) / (2x₂ – 2x₁) (3)

Aus (3) folgt es:

x_G = x_G`+ ((2Dd(d_1G - d_2G)) / (2x₂– 2x₁)
wo x_G die Koordinate des Punktes G, die mit Ungenauigkeit gemessen wurde und x_G` die Koordinate des Punktes G, die exakt gemessen wurde.
Die Ungenauigkeit der Uhr beträgt dann:

Dd = ((x_G - x_G`) (x₂ – x₁₎) / (d_1G - d_2G) (4)

Teil zu berechnen	Abhängigkeit
Gesamte Fläche G der Intersektionsfläche G	G = 4 AD = 4a²/sin(a)

Fläche des Dreiecks ABH A_D [2sin(a/2) cos(a/2)) = sin(a)]	A_D= (AH^.BH)/2 = (AB²sin(a/2) cos(a/2))/2 (4a²sin(a/2) cos(a/2))/2sin²(a) (2a²sin(a/2) cos(a/2))/sin²(a) a²/sin(a)
AH	AB cos(a/2)
BH	AB sin(a/2)
AB	2a/sin(a)