Projekt AMU  WS 2003/2004 Prof. R. Bruder/M. Distler

Fachbereich Mathematik AG11
 

SI-Variante A

Projekt: Vermessung eines Flächeninhalts durch die Simulation eines
                2D Satellitennavigationssystems

Ziel:
Ziel des Projekts soll die Vermessung der Obergrenzen eines unregelmäßigen Flächeninhalts durch die Dreiecksberechnung sein, die im
Satellitennavigationssystem GPS verwendet wird. Die Arbeit ist auch geeignet, um die Relevanz von Fehlerübertragungen beim physikalischen
Messungen zu untersuchen.

Anlass/Motivation:
Während eines Experimentes wurde der Boden des Chemie-Klassenzimmers unbeabsichtigt durch das Schütteln von Säuren beschädigt.
Die Fläche, die beschädigt wurde, ist ziemlich groß und hat natürlich eine unregelmäßige Form (siehe Bild 1). Die beschädigten Fliesen
sollen gewechselt werden. Die Größe der Fliesen ist 20x20 cm.

                                            Bild 1: Das Klassenzimmer mit der beschädigten Fläche

Das Geschehen könnte simuliert werden, indem man eine unregelmäßige Fläche auf dem Boden mit einer Kreide malt.

Grobe Fragestellung (Worum es geht):
Man möchte diesen kleinen Unfall ausnutzen, um alternative Vermessungssysteme zu untersuchen. Man möchte berechnen,
wie viele Fliesen notwendig sind, um die Fläche zu renovieren ohne Lineal oder Maßstab zu verwenden.

Da das amerikanische Satellitennavigationssystems GPS heutzutage schon in vielen Autos vorhandeln ist und noch dazu Europa
ein neues Satellitennavigationssystem – Galileo – realisiert hat, das komplementär zum amerikanischen GPS und russischen GLONASS ist,
kann für die Schüler interessant sein, die Dreiecksberechnung zu untersuchen und durch die Simulation der Grundprinzipien des GPSs
den Flächeninhalt zu vermessen.

Bei der Realisierung sollen die Schüler ein 2D Satellitennavigationssystem simulieren. Nachdem man die Position der 2D-Satelliten
durch eine Zeitmessung ermittelt hat, werden die Schüler eine mathematische Modellierung durchführen, um die Position ausgewählter
Punkte innerhalb dieses Systems zu finden. Das sollte, wie beim GPS System auf einer Dreiecksberechnung basiert sein.
Anschließend sollen die Ergebnisse mit der Realität konfrontiert werden.
 

Detaillierte Fragestellung: 1. Variante (Sehr detailliert und nicht sehr offen)
Die Schüler sollen zuerst recherchieren, um Grundinformationen über das GPS zu sammeln.
Hinweis: Wichtig dabei ist, dass die Vermessungsmethode des Systems zu verstehen ist, insbesondere die Konsequenzen von möglichen
Fehlern bei der Messung von Satelliten-Entfernungen. Technische Daten über das Systems sind für die Lösung der Aufgabe von weniger Interesse.

Danach sollen folgende Aufgaben bearbeitet werden:
 

1. Um die Übertragung von Funksignalen von Satelliten zur Empfänger (so wird die Entfernung von einem Satelliten beim GPS bestimmt) zu simulieren,
    kann ein Spielzeug benutzt werden, z.B. ein ferngesteuertes Auto. Wichtig dabei ist, dass seine Geschwindigkeit relativ konstant ist.
   Durch verschiedene Messungen soll die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos zuerst bestimmt werden. Diese vermittelte Geschwindigkeit
    wird im Laufe des Projekts weiter benutzt, um die Entfernung der simulierten Satelliten zu bestimmen.
2. Ein geeignetes Koordinatensystem soll in dem Klassenzimmer gelegt werden.
3. Die Anzahl der notwendigen simulierten Satelliten soll festgelegt werden.
4. Die Position der Satelliten innerhalb dieses Koordinatesystems soll dann gewählt werden. Da beim GPS diese Positionen durch die Umlaufbahn der
    Satelliten immer vorhandeln sind, gelten diese Positionen bei dieser Fragestellung als gegeben.
5. Aus der unregelmäßigen Form der beschädigten Fläche soll durch die Bestimmung ausgewählter Punkte ein regelmässiges Polygon werden. Man soll
    das Ziel hier nicht vergessen: Man möchte wissen, wie viele Fliesen zu tauschen sind!
6. Die Koordinaten der ausgewählten Punkte sollte durch Dreiecksberechnung bestimmt werden.
7. Die Anzahl der Fliesen soll bestimmt werden, die in dem Polygon passen und deswegen teilweise oder komplett beschädigt wurden.
8. Durch Beobachtung soll berechnet werden, wie viele Fliesen tatsächlich beschädigt wurden.
9. Die Ergebnisse sollen verglichen und diskutiert werden.
 
 

Detaillierte Fragestellung: 2. Variante (mehr offen)
Die Schüler sollen zuerst recherchieren, um Grundinformationen über das GPS zu sammeln.

Danach sollen folgende Aufgaben bearbeitet werden:

1. Man soll sich eine einfache Methode überlegen, um die Übertragung von Funksignalen von Satelliten zur Empfänger
    (so wird die Entfernung von einem Satelliten beim GPS bestimmt) zu simulieren. Dabei geht es um Bestimmungen von Entfernungen
    durch Zeitmessungen. Anforderungen an die Methode: Kostante Geschwindigkeit der Übertragung und Möglichkeit zur Synchronisierung bei der
    Zeitmessung.
2. Durch die nötige Anzahl von simulierten Satelliten und eine Dreiecksberechnung sollen die Koordinaten ausgewählter Punkte auf dem Boden
    berechnen werden, damit die Anzahl der beschädigten Fliesen vermittelt werden kann.
3. Durch Beobachtung soll berechnet werden, wie viele Fliesen tatsächlich beschädigt wurden.
4. Falls die Ergebnisse unterschiedlich sind, ist diese Diskrepanz durch mögliche Fehler (welche?) bei der Simulation zu rechtfertigen?
5. Wie könnte man diese Diskrepanz reduzieren?.