Projekt AMU  WS 2003/2004 Prof. R. Bruder/M. Distler

Fachbereich Mathematik AG11
 

SI-Variante A

Projekt: Vermessung eines Flächeninhalts durch die Simulation eines
                2D Satellitennavigationssystems

Musterlösung

Benötigte Material zur Lösung der Aufgabestellung

• Ausreichend Band für die Markierung eines Koordinatensystems (eventuell Kreide)
• Klebeband
• Markierungen für die Satelliten und die ausgewählten Punkte, deren Koordinaten zu berechnen sind
• 1 Stoppuhr (2 oder 3 Stoppuhren, falls man in Gruppen parallel arbeiten möchte)
• Ein/zwei ferngesteuertes Autos.
• Taschenrechner
• Papier und Stifte

 

Benötigte Kenntnisse zur Lösung der Aufgabestellung

• Dreiecksberechnung zur Positionsbestimmung (siehe GPS)
• Längenberechung innerhalb eines Koordinatensystems
• Berechung von Flächeninhalten
• Gleichung eines Kreises
• Lineare Gleichungssysteme
• Physik: Geschwindigkeit x Zeit = Entfernung

Einordnung in den aktuellen Lehrplan

Verwendung von folgenden mathematischen Konzepten:

• Koordinatensystem
• Längenbestimmung und Flächenmessungen
• Maßeinheiten
• Fehleranalyse
• Abschätzung

Beispiellösung

Alle Fliesen, die komplett oder teilweise beschädigt wurden, sollten getauscht werden. Da das Austauschen von beschädigten Fliesen zur Beschädigung zusätzlicher benachbarter Fliesen führen kann, zeigt sich als günstiger eine gesamte Fläche einfacher Form zu renovieren (siehe Bild 2) statt zu versuchen, nur die Anzahl der Fliesen, die zu austauschen sind, zu minimieren (siehe Bild 3).

 Bild 2: eine gesamte Fläche einfacher Form

Bild 3: Die Form wäre zu kompliziert für die Berechnung

Das bedeutet für uns Folgendes:

• Die Punkte, die ausgewählt werden sollen, sind die 4 Punkte wodurch die 2 horizontalen Tangenten und die 2 vertikalen Tangenten auf der beschädigten Fläche gehen (Punkte A,B,C,D im Bild 2).
• Die Punkte, deren Koordinaten durch eine Dreiecksberechnung zu berechnen sind, sind die vier Intersektionen der vier Tangenten (Punkte E,F,G,H im Bild 2).
• Unseres Koordinatensystem wird so gelegt, dass eine der horizontalen Tangenten auf der x-Achse liegt und eine der vertikalen Tangenten auf der y-Achse liegt (siehe Bild 2).
• Der Punkt H hat die Koordinaten (0,0)
• Der Polygon, dessen Flächeninhalt zu berechnen ist, ist das Rechteck EFGH

Zur Dreiecksberechnung:

Da der Punkt G auf der x-Achse liegt, reichen nur zwei Satelliten-Messungen, um seine Koordinaten zu bestimmen und zwar (siehe Bild4):

                (x-x₁)² + (y-y₁)² = d_1G und (x-x₂)² + (y-y₂)² = d_2G

wo (x₁, y₁) und (x₂, y₂) die Koordinaten der zwei Satelliten sind und d_1G und d_2G die Entfernungen eines Punktes von den Satelliten.

Da der Punkt G auf der x-Achseist (y_G=0), kann man berechnen:

                x_G = (d_1G² + x₂² + y₂² - d_2G² – x₁² – y₁²) / (2x₂ – 2x₁)

Um den Flächeninhalt des Rechtecks EFGH zu berechnen brauchen wir nun die Koordinaten des Punktes E. Analog zum Punkt G (xE=0), kann man berechnen:

                y_E = (d_1E² + x₂² + y₂² - d_2E² – x₁² – y₁²) / (2y₂ – 2y₁)

Für unsere Simulation bedeutet das, dass folgende Tabelle gefüllt werden soll:
 

Punkt	Satellit	Zeit (sec)	(gemessen) Entfernung (m)	(berechnet) Variable
G	S1			d1G
G	S2			d2G
E	S1			d1E
E	S2			d2E

Bild 4: die Dreiecksberechnung

Um bei der Tabelle die Entfernung zu berechnen, soll die einfache Formel

                Geschwindigkeit (sec/m) x Zeit (sec) = Entfernung (m)

benutzt werden.
Die durchschnittliche Geschwindigkeit wird durch mehrere Messungen über eine Strecke von bekannter Länge vorher noch berechnet.

Um die Anzahl der Fliesen, die zu wechseln sind, zu bestimmen, soll man nicht die zwei Flächeninhalte dividieren, sondern in jeder Dimension berechnen,
wie viele Fliesen passen. Da nur komplette Fliesen getauscht werden können, werden dann die Ergebnisse der zwei Divisionen auf die nächst größere natürliche
Zahl aufgerundet:

                (Aufrunden[xG(cm)/20]) x (Aufrunden[yE(cm)/20 ])

Außerdem, da man a priori nicht wissen kann, wie das gewählte Rechteck EFGH in Relation zum Gitter der Fliesen steht, könnte es sein, dass eine Reihe
und/oder Spalte von Fliesen mehr als berechnet nötig wäre (siehe Bild 5).
 

Bild 5: Rechteck nicht synchron mit dem Fliesen-Gitter

Literatur
 

• Heinrich ABEL, Esslingen: GPS: Global Positioning System – Funktionsweise und mathematische Grundlagen: http://www2.fht-esslingen.de/~abel/gps/Abel-GPS.htm
• Gerhard Kaindl: Analytische Lösung der Navigationsgleichung: http://www.ap.univie.ac.at/users/kaindl/navig/navigo.htm#gl11
• Weiß, S.; Diethelm, K.: Das Grundprinzip des Global Positioning Systems. TI-Nachrichten 1/2001 und 2/2001: education.ti.com/downloads/pdf/oesterreich/TI_0101.pdf
• BUSINESS CENTER KRIESBACH: Kurze Einführung über das Global Positioning System (GPS): http://www.sintrade.ch/gpsfunktion01.html